Halaman
Bab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar115BAB IVBILANGAN BERPANGKATDAN BENTUK AKARPeta KonsepKata Kunci1. Pangkat2. Akar3. Sifat4. Operasi5. Merasionalkan6. Akar sekawanBilangan Berpangkat dan Bentuk AkarBilangan berpangkatBentuk akarSifatOperasiMerasionalkanmempelajariOperasiSifatmeliputimeliputi
116Matematika IX SMP/MTsA. Bilangan Berpangkat Bilangan BulatSetiap manusia yang hidup pasti dia akan membutuhkansesuatu atas dirinya seperti makan, bernafas, pakaian, tempattinggal, dan lain-lain. Kebutuhan-kebutuhan manusia sebagianbesar diperoleh tidak dengan cuma-cuma. Diperlukan sebuahusaha untuk mendapatkannya baik mencari, membeli, danusaha-usaha yang lainnya.Dalam suatu lomba gerak jalan,setiap regu terdiri dari 27 orang yangdisusun menjadi 9 baris dan tiap baristerdiri dari 3 orang. Kemudian 9 baristersebut dibagi menjadi 3 bagian dan tiap-tiap bagian terdiri dari 3 baris, yaitu bagiandepan, tengah, dan belakang. Masing-masing bagian diberi jarak 1 baris. Halini dilakukan untuk memudahkan dewanjuri dalam mengecek jumlah orang tiapregu. Jika tiap regu terdiri dari 3 bagiandan tiap bagian terdiri dari 3 baris, sertatiap baris terdiri dari 3 orang maka jumlahpeserta dalam regu tersebut tepat 27orang.Untuk menuliskan jumlah tiap regu dalam permasalahandi atas, sebenarnya dapat dilakukan dengan cara yang lebihefektif dan efisien, yaitu dengan cara notasi bilangan berpangkat.Agar lebih memahami bilangan berpangkat dan bentuk akar,pelajarilah bab ini sehingga kalian dapat mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar, melakukan operasialjabar yang melibatkan bilangan berpangkat dan bentuk akar,serta dapat memecahkan masalah sederhana yang berkaitandengan materi ini.Sumber: www.tee-za.netGambar 4.1 Regu gerak jalan
Bab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar117Untuk membeli sebuah kebutuhan, kadang manusia harusmengeluarkan uang dalam jumlah besar. Misal untuk membelirumah mewah manusia harus mengeluarkan uang sebesar 1milyar rupiah. Jika dalam matematika 1 milyar dapat dituliskandengan 1.000.000.000. Agaknya untuk menuliskan jumlahtersebut terlalu panjang, dapat juga dituliskan dalam bentukbaku yaitu 1 × 109. Nah, bilangan yang dituliskan sebagai 109inilah yang disebut sebagai bilangan berpangkat. Dalam hal ini10 disebut bilangan pokok, sedangkan 9 disebut bilanganpangkat. Karena pangkatnya bilangan bulat, maka disebutbilangan berpangkat bilangan bulat.1.Bilangan Berpangkat SederhanaDalam kehidupan sehari-hari kita sering menemuiperkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama.Misalkan kita temui perkalian bilangan-bilangan sebagai berikut.2 × 2 × 23 × 3 × 3 × 3 × 36 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6Perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yangsama seperti di atas, disebut sebagai perkalian berulang. Setiapperkalian berulang dapat dituliskan secara ringkas denganmenggunakan notasi bilangan berpangkat. Perkalian bilangan-bilangan di atas dapat kita tuliskan dengan:2 × 2 × 2 = 23(dibaca 2 pangkat 3)3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35(dibaca 3 pangkat 5)6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 66(dibaca 6 pangkat 6)Bilangan 23, 35, 66 disebut bilangan berpangkat sebenarnyakarena bilangan-bilangan tersebut dapat dinyatakan dalambentuk perkalian berulang.
118Matematika IX SMP/MTsBilangan berpangkat an dengan nbilangan bulat positifdidefinisikan sebagai berikut.Contoh 4.11.45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 42.76 = 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 73.(–3)4 = (–3) × (–3) × (-3) × (–3)Berdasarkan penjelasan di atas, diperoleh sifat-sifat berikutini.Misalkan a, b∈R dan m, n adalah bilangan bulat positif.1.am × an = am+n3.(am)n = am×n2. = am–n, m > n4.(a × b)n = an × bn2.Bilangan Berpangkat NolPerhatikan kembali rumus = am–n pada pembahasansebelumnya. Jika dipilih m = n maka diperoleh:= am–n= an–n1= a0Jadi, a0 = 1, dengan a≠ 0.Contoh 4.21.60= 12.(–45)0= 1an = a X a X a ... X aambmambmamamamamn faktor
Bab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar1193.Bilangan Berpangkat NegatifApa yang terjadi jika m = 0?Dari pembahasan di atas jika dipilih m = 0, maka:= am–n= a0–n= a–nJadi, a–n = atau an = , dengan a≠ 0.Contoh 4.31.16–3=2.14–3=Latihan 4.11.Tentukan hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut.a.63c. –42b.(–5)4d. (–3x)52.Nyatakan bilangan-bilangan berikut dengan pangkat negatif.a.132b.c. 0,00013.Tentukan hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut.a.–4–3c.4–6b.(–3x)–4d.5y–4amamamao1an1a -n1an 1163 1142
120Matematika IX SMP/MTs4.Suatu unsur radioaktif memiliki waktu paro 80 tahun. Tentukanwaktu(t) yang dibutuhkan agar aktivitasnya (A) 25% dari nilai awalnya (A0).Petunjuk:Untuk menentukan hasil pemangkatan bilangan pecahanberpangkat dapat di gunakan definisi bilangan berpangkat. Jikaa, b∈ B, b≠ 0, n adalah bilangan bulat positif maka:Jadi, .Contoh 4.41.=2. =B. Bilangan Pecahan Berpangkatn faktorn faktorXn+12
Bab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar121Bilangan dengan a bilangan bulat dan n≠ 0 didefinisikansebagai berikut.Bilangan disebut bilangan berpangkat tak sebenarnya.Contoh 4.51.2.Latihan 4.21.Tentukan hasil perpangkatan dari bilangan-bilangan berikut.a.c.b.d.2.Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk akar.a.c.b.d.3.Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pangkat positif.a.c.b.d.
122Matematika IX SMP/MTs4.Tentukan hasil perpangkatan bilangan berikut ini.a.c.b.d.5.Nyatakan bentuk perpangkatan berikut menjadi bentuk pangkat positif.a.c.b.d.Dalam matematika kita mengenal berbagai jenis bilangan.Beberapa contoh jenis bilangan diantaranya adalah bilanganrasional dan irrasional. Bilangan rasional adalah bilangan yangdapat dinyatakan dalam bentuk , dengan m, n∈ B dann≠ 0. Contoh bilangan rasional seperti: , 5, 3 danseterusnya. Sedangkan bilangan irrasional adalah bilanganriil yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk , denganm, n∈ B dan n≠ 0. Bilangan-bilangan seperti termasuk bilangan irrasional, karena hasilakar dari bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional.C. Bentuk Akarmn236534,,mn
Bab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar123Bilangan-bilangan semacam itu disebut bentuk akar. Sehinggadapat disimpulkan bahwa bentuk akar adalah akar-akar darisuatu bilangan riil positif, yang hasilnya merupakan bilanganirrasional.1.Operasi Hitung Bentuk AkarDua bilangan bentuk akar atau lebih dapat dijumlahkan,dikurangkan, maupun dikalikan.a.Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk AkarUntuk memahami cara menjumlahkan dan mengurangkanbilangan-bilangan dalam bentuk akar, perhatikan contoh -contoh berikut.1.=2.=Dari contoh di atas, maka untuk menjumlahkan danmengurangkan bilangan-bilangan dalam bentuk akar dapatdirumuskan sebagai berikut.Untuk setiap a, b, dan c bilangan rasional positif, berlakuhubungan:danContoh 4.61.2.3.4.Penyelesaian:1.= =2.= =3.=
124Matematika IX SMP/MTs = = =4. = = = =b.Perkalian Bentuk AkarUntuk sembarang bilangan bulat positif a dan b berlakusifat perkalian berikut.Sifat di atas sekaligus dapat digunakan untukmenyederhanakan bentuk akar.Contoh 4.71.2.Penyelesaian:1.===2.=
Bab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar125=–===c.Pemangkatan Bilangan Bentuk AkarBentuk akar juga dapat dipangkatkan. Adapunpemangtkatan bentuk akar akar didapat beberapa sifat.1)Pemangkatan bentuk ===Jadi, .
126Matematika IX SMP/MTsContoh 4.81.2.2)Pemangkatan bentuk dengan pangkat negatifBentuk akar dengan pangkat negatif sama halnya denganbilangan berpangkat bilangan negatif. Sehingga:Contoh 4.93)Pemangkatan bentuk danJadi, .Dengan cara yang sama, akan diperoleh:Contoh 4.10
Bab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar1274)Pemangkatan bentuk danPada dasarnya penyelesaian dari pemangkatan bentuk dan sama dengan penyelesaianpemangkatan bentuk dan . Sehingga:Jadi, .Dengan cara yang sama, maka akan diperoleh:Contoh 4.112.Hubungan Bentuk Akar dengan Pangkat PecahanPada pembahasan yang lalu telah disebutkan beberapasifat dari bilangan berpangkat bulat positif. Sifat-sifat tersebutakan digunakan untuk mencari hubungan antara bentuk akar
128Matematika IX SMP/MTsdengan pangkat pecahan. Sifat yang dimaksud adalah .Selain sifat tersebut terdapat sifat lain, yaitu:Jika ap = aq maka p = q dengan a > 0, a≠ 1a.Hubungan denganPerhatikan pembahasan berikut.1)Misalkan . Jika kedua ruas dikuadratkan, makadiperoleh:2)Misalkan . Jika kedua ruas dipangkatkan 3,maka diperoleh:3)Misalkan pnaa=. Jika kedua ruas dipangkatkan n,maka diperoleh:(Karena kedua ruas sama, makapangkatnya juga sama)(a m)n=a m x nnaa =ap
Bab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar129Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa untuk a bilanganreal tidak nol dan n bilangan bulat positif, maka:b.Hubungan denganBerdasarkan kesimpulan pangkat pecahan na1,selanjutnya akan diperluas pada pangkat pecahan dalam bentukyang lebih umum . Untuk tujuan itu, perhatikan pembahasanberikut., menggunakan sifat pangkat bulat positif menggunakan pangkat pecahan , menggunakan sifat pemangkatan bentukDari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa untuk a bilanganreal tidak nol, m bilangan bulat, dan n bilangan asli,n> 2, maka: .
130Matematika IX SMP/MTsContoh 4.12Ubahlah bentuk akar berikut ke dalam bentuk pangkatpecahan.a.c.b.d.Penyelesaian:a.=c.==b.=d.=== 22 = 4343263534233432232242343253253235326362Latihan 4.31.Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan dari bentuk akar berikut.a.c.b.d.2.Hitunglah perkalian bentuk akar berikut.a.b.3.Tentukan hasil dari bentuk akar berikut.a.c.b.d.4.Tentukan hasil perhitungan dari operasi berikut.a.b.5.Sederhanakan .
Bab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar131D. Merasionalkan Bentuk Akar KuadratDalam sebuah bilangan pecahan penyebutnya dapatberupa bentuk akar. Pecahan adalahbeberapa contoh pecahan yang penyebutnya berbentuk akar.Penyebut pecahan seperti itu dapat dirasionalkan. Caramerasionalkan penyebut suatu pecahan tergantung dari bentukpecahan tersebut.1.Merasionalkan BentukUntuk menghitung nilai ada cara yang lebih mudahdaripada harus membagi 6 dengan nilai pendekatan dari 3,yaitu dengan merasionalkan penyebut. Cara ini dapat dilakukandengan menggunakan sifat perkalian bentuk akar:Selanjutnya pecahan diubah bentuknya dengan memani-pulasi aljabar.Contoh 4.13
132Matematika IX SMP/MTsMengubah menjadi atau disebutmerasionalkan penyebut pecahan. Dari uraian di atas, dapatkita ambil kesimpulan bahwa pecahan (a bilangan rasionaldan b bentuk akar), bagian penyebut dapat dirasionalkan,dengan mengalikan pecahan tersebut dengan, sehinggapecahan tersebut menjadi:Contoh 4.142.Merasionalkan Bentuk atauUntuk merasionalkan penyebut pecahan yang berbentuk , terlebih dahulu perhatikan perkalian pasanganbilangan dan dengan b dan c bilanganrasional dan bentuk akar.6363332a3bb
Bab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar133b+cab+caKarena b dan c bilangan rasional, maka hasil kali pasanganbilangan dan juga rasional. Pasanganbilangan dan disebut bentuk-bentuk akarsekawan atau dikatakan sekawan dari dansebaliknya.Dengan menggunakan sifat perkalian bentuk-bentuk akarsekawan maka penyebut bentuk atau dapatdirasionalkan dengan memanipulasi aljabar.a.Pecahan BentukUntuk pecahan diubah menjadi:(b+c)(b-c)(b+c)(b-c)(b+c)(b-c)b+cab -ca
134Matematika IX SMP/MTsb.Pecahan BentukUntuk pecahan disederhanakan menjadi:Contoh 4.15b -cab -ca()()233322.3232 32332323231323+=×−−++=−+=−=− +
Bab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar1353.Merasionalkan Bentuk atauPenyebut pecahan yang berbentuk dapatdirasionalkan dengan menggunakan manipulasi aljabar yanghampir sama dengan merasionalkan penyebut pecahan yangberbentuk .a.Pecahan BentukUntuk pecahan pembilang dan penyebut dikalikan .b.Pecahan BentukUntuk pecahan pembilang dan penyebutdikalikan .cab +cab -cab +cab +cab +cb -cab -cab -cab -()
136Matematika IX SMP/MTsContoh 4.16Latihan 4.4Rasionalkan penyebut bentuk akar berikut.1.4.2.5.3.6.5a53-53- 25-2 22 2-5371255-2 - 36= 36
Bab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar137Rangkuman1.Untuk bilangan bulat a dengan a ≠ 0, bilangan cacah m dan m berlakua.e.(a × b)n = an × bnb.am × an = am+nf.a0 = 1c.g.d.(am)n = am×nh.2.Operasi hitung bentuk akara.b.c.d.e.f.g.h.i.
138Matematika IX SMP/MTsUji Kompetensi321A. Pilihlah satu jawaban yang paling benar dengan cara memberi tandasilang (X) pada huruf a, b, c, atau d!1.73 artinya . . . .a.7 × 3c.3 × 7b.3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3d.7 × 7 × 72.Nilai dari (–6)3 adalah . . . .a.64c.–216b.–12d.2163.Nilai dari –54 adalah . . . .a.–625c.325b.225d.6254.Bentuk 3–2 bila diubah ke dalam bentuk pangkat bilangan bulat positifadalah . . . .a.3c.b.–34d.5.Bentuk (3a)–4 bila diubah ke dalam bentuk pangkat bilangan positif adalah. . . .a.–81ac.b.–3a4d.6.Nilai dari (–7)2 adalah . . . .a.49c.–49b. d. –14241-a2a41-8a41-71
Bab IV Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar1395225m ann ammn an a 3 262262313 262123262323147.Hasil dari adalah . . . .a.c.b.d.8.Bentuk akar dari nma adalah . . . .a.c.b.d.9.Bentuk pangkat dari adalah . . . .a.26 c.b. d.10. Nilai dari adalah . . . .a.24c.4b.16d.211. Hasil dari 82 × 4–4 adalah . . . .a.c.8b.4d.6412. Hasil dari [(3n)–2]3 adalah . . . .a.16n–8c.b.64m–8d.
140Matematika IX SMP/MTsa.1c.b. d. 014. Jika a – b = 2, maka nilai dari (b – a)6 adalah . . . .a.c.b.64d.–6415. Diketahui , maka nilai x adalah . . . .a.–13c.4b.–4d.13B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan benar!1.Hasil dari adalah . . . .2.Bentuk sederhana dari adalah . . . .3.Nilai x jika adalah . . . .4.Nilai dari = . . . .5.Bentuk rasional dan sederhana dari adalah . . . .13. = . . . .15125164164